Задание №23 ОГЭ: Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в… — задача 43

Рисунок. Изображён треугольник $ABC$ и окружность, проходящая через вершины $B$ и $C$ и пересекающая стороны $AB$ и $AC$ во внутренних точках $K$ и $P$ соответственно. На чертеже отмечены $AK = 6$ и отношение $AC = 1{,}5 \cdot BC$; требуется найти отрезок $KP$.

Четырёхугольник $BKPC$ вписан в окружность, поэтому $\angle AKP = \angle ACB$ (внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему при противоположной вершине). У треугольников $AKP$ и $ACB$ угол $A$ общий и $\angle AKP = \angle ACB$, значит, $\triangle AKP \sim \triangle ACB$. Коэффициент подобия равен $\dfrac{AK}{AC}$, а поскольку подобные треугольники имеют пропорциональные стороны, $\dfrac{KP}{CB} = \dfrac{AK}{AC}$. По условию $AC = 1{,}5 \cdot BC$, поэтому $KP = \dfrac{AK \cdot BC}{AC} = \dfrac{AK}{1{,}5} = \dfrac{6}{1{,}5} = 4$.

Ответ: 4

Источник: Банк ФИПИ