Задание №23 ОГЭ: Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в… — задача 45

Рисунок. Изображён треугольник $ABC$ и окружность, проходящая через вершины $B$ и $C$ и пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $P$ соответственно. На чертеже отмечены $AP = 21$ и соотношение $AB = 1{,}5 \cdot BC$; требуется найти отрезок $KP$.

Четырёхугольник $BKPC$ вписан в окружность, поэтому $\angle APK = \angle ABC$ (свойство внешнего угла вписанного четырёхугольника). Треугольники $APK$ и $ABC$ имеют общий угол $A$ и $\angle APK = \angle ABC$, следовательно, $\triangle APK \sim \triangle ABC$. Из подобия $\dfrac{KP}{BC} = \dfrac{AP}{AB}$, то есть $KP = \dfrac{AP \cdot BC}{AB}$. По условию $AB = 1{,}5 \cdot BC$, поэтому $KP = \dfrac{AP}{1{,}5} = \dfrac{21}{1{,}5} = 14$.

Ответ: 14

Источник: Банк ФИПИ