Задание №23 ОГЭ: Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC… — задача 48

Рисунок. Изображён треугольник $ABC$ и окружность с центром на стороне $AC$, проходящая через вершину $C$ и касающаяся прямой $AB$ в точке $B$. На чертеже отмечены диаметр окружности, равный $16$, и отрезок $AB = 15$; требуется найти $AC$.

Пусть $O$ — центр окружности (на стороне $AC$), $r$ — радиус, $d = 16$ — диаметр. Прямая $AB$ касается окружности в точке $B$, а прямая $AC$ проходит через центр, значит, является секущей и пересекает окружность в двух точках: ближней к $A$ точке $M$ (где $AM = AC - 16$) и в точке $C$. По теореме о касательной и секущей $AB^2 = AM \cdot AC$, то есть $15^2 = (AC - 16) \cdot AC$. Получаем уравнение $AC^2 - 16 \cdot AC - 225 = 0$. Подставим $AC = 25$: $25^2 - 16 \cdot 25 = 625 - 400 = 225 = 225$ — совпадает с $AB^2$. Значит, $AC = 25$.

Ответ: 25

Источник: Банк ФИПИ