Задание №23 ОГЭ: Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC… — задача 52

Рисунок. Изображён треугольник $ABC$ и окружность с центром на стороне $AC$, проходящая через вершину $C$ и касающаяся прямой $AB$ в точке $B$. На чертеже отмечены $AB = 3$ и $AC = 9$; требуется найти диаметр окружности.

Пусть $O$ — центр окружности, лежащий на стороне $AC$, и пусть $d$ — её диаметр. Прямая $AB$ — касательная к окружности в точке $B$, а прямая $AC$ — секущая, проходящая через центр; она пересекает окружность в точках $M$ (ближней к $A$) и $C$, причём $MC = d$ и $AM = AC - d$. По теореме о касательной и секущей $AB^2 = AM \cdot AC$, то есть $3^2 = (9 - d) \cdot 9$. Тогда $9 - d = \dfrac{9}{9} = 1$, откуда $d = 9 - 1 = 8$.

Ответ: 8

Источник: Банк ФИПИ