Задание №23 ОГЭ: Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину… — задача 31

Рисунок. Изображена окружность с центром $O$ и двумя хордами $AB$ и $CD$; из центра опущены перпендикуляры на обе хорды. На чертеже отмечены $AB = 12$, расстояние от $O$ до $AB$, равное $8$, и расстояние от $O$ до $CD$, равное $6$; требуется найти длину хорды $CD$.

Пусть $R$ — радиус окружности. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, поэтому по теореме Пифагора $R^2 = \left(\dfrac{AB}{2}\right)^2 + 8^2 = 6^2 + 8^2 = 100$. Аналогично для хорды $CD$: $\left(\dfrac{CD}{2}\right)^2 = R^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$. Значит, $\dfrac{CD}{2} = \sqrt{64} = 8$ и $CD = 16$.

Ответ: 16

Источник: Банк ФИПИ