Задание №23 ОГЭ: Точка H является основанием высоты BH, проведённой из… — задача 36

Рисунок. Изображён прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B$; из $B$ опущена высота $BH$ на гипотенузу $AC$. Построена окружность с диаметром $BH$, которая пересекает катет $AB$ в точке $P$ и катет $CB$ в точке $K$. На чертеже отмечено $BH = 13$; требуется найти $PK$.

Отрезок $BH$ — диаметр окружности, поэтому вписанные углы $\angle BPH$ и $\angle BKH$, опирающиеся на этот диаметр, прямые. Значит, $HP \perp AB$ и $HK \perp CB$. В четырёхугольнике $BPHK$ три угла прямые: $\angle PBK = 90^\circ$ (угол $B$ исходного треугольника), $\angle BPH = 90^\circ$, $\angle BKH = 90^\circ$. Следовательно, $BPHK$ — прямоугольник, и его диагонали равны: $PK = BH$. Значит, $PK = BH = 13$.

Ответ: 13

Источник: Банк ФИПИ