Задание №23 ОГЭ: Точка H является основанием высоты BH, проведённой из… — задача 39

Рисунок. Изображён прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B$; из $B$ опущена высота $BH$ на гипотенузу $AC$. Построена окружность с диаметром $BH$, которая пересекает катеты $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. На чертеже отмечено $PK = 11$; требуется найти $BH$.

Отрезок $BH$ — диаметр окружности, поэтому вписанные углы $\angle BPH$ и $\angle BKH$, опирающиеся на этот диаметр, прямые. Значит, $HP \perp AB$ и $HK \perp CB$. В четырёхугольнике $BPHK$ три угла прямые: $\angle PBK = 90^\circ$ (угол $B$ исходного треугольника), $\angle BPH = 90^\circ$, $\angle BKH = 90^\circ$. Следовательно, $BPHK$ — прямоугольник, и его диагонали равны: $PK = BH$. Значит, $BH = PK = 11$.

Ответ: 11

Источник: Банк ФИПИ