Задание №25 ОГЭ: В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна… — задача 20

Рисунок. Прямоугольная трапеция $ABCD$ с $AB\perp BC$, основаниями $BC=4$ и $AD=8$; окружность проходит через $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Отмечена точка $F$ — пересечение прямых $AB$ и $CD$ и отрезок $FE$ — касательная длина.

Так как $AB\perp BC$ и $BC\parallel AD$, прямая $AB$ перпендикулярна обоим основаниям. Пусть $F$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$. По теореме о касательной и секущей из точки $F$: $FE^2=FC\cdot FD$.

Из подобия $\triangle FBC\sim\triangle FAD$ (так как $BC\parallel AD$) имеем $\dfrac{FB}{FA}=\dfrac{BC}{AD}$ и $\dfrac{FC}{FD}=\dfrac{BC}{AD}$. Обозначим коэффициент подобия $k=\dfrac{BC}{AD}$. Тогда $FC=k\cdot FD$, а из той же пары подобных треугольников $FC=\dfrac{BC\cdot CD}{AD-BC}$, $FD=\dfrac{AD\cdot CD}{AD-BC}$. Поэтому $FE^2=\dfrac{AD\cdot BC\cdot CD^2}{(AD-BC)^2}$, $FE=\dfrac{\sqrt{AD\cdot BC}\cdot CD}{AD-BC}$.

Искомое расстояние от $E$ до прямой $CD$ равно $FE\cdot\sin\angle(AB,CD)$. Поскольку $AB\perp AD$, синус угла между $AB$ и $CD$ равен $\dfrac{AD-BC}{CD}$ (отношение катета $AD-BC$ прямоугольного треугольника с гипотенузой $CD$ и высотой $AB$ к гипотенузе). Значит $d=FE\cdot\dfrac{AD-BC}{CD}=\sqrt{AD\cdot BC}=\sqrt{8\cdot 4}=4\sqrt{2}$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ