Задание №12 ЕГЭ: Найдите наименьшее значение функции y=4x-ln((x+2)⁴) на… — задача 50

Преобразуем логарифм:
\[\ln((x+2)^4)=4\ln(x+2).\]

На отрезке \([-1;2]\) выражение \(x+2\) положительно, поэтому функция определена.

Найдём производную:
\[y'=4-\frac{4}{x+2}.\]

Критическая точка находится из уравнения \(y'=0\):
\[4-\frac{4}{x+2}=0.\]

Тогда
\[\frac{4}{x+2}=4,\]
откуда
\[x+2=1.\]

Значит,
\[x=-1.\]

На отрезке \([-1;2]\) при \(x>-1\) производная положительна, поэтому функция возрастает от левого конца отрезка.

Наименьшее значение достигается при \(x=-1\):
\[y(-1)=4\cdot(-1)-\ln(1^4)=-4-0=-4.\]

Ответ: \(-4\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор