ЕГЭ · математика · задание 12
Задание 12 ЕГЭ (профиль) по математике: исследование функции
Обновлено: 19.07.2026
Задание 12 профильного ЕГЭ по математике — это исследование функции: чаще всего нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке. Решается оно через производную, и при аккуратном счёте здесь можно уверенно получить свой балл. Разберём алгоритм на реальных примерах из банка задач.
Задачи №12 с разбором
Что проверяет задание №12
Задание 12 ЕГЭ (профиль) по математике проверяет, умеешь ли ты применять производную для исследования функции. Нужно уверенно дифференцировать основные виды функций (дробно-рациональные, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические), находить критические точки, определять промежутки возрастания и убывания и на этой основе находить наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. По сути, это проверка понимания связи между знаком производной и поведением функции, а также обычной вычислительной внимательности.
Как решать: алгоритм
Найди область определения функции и упрости её: например, дробь $y=\frac{x^2+441}{x}$ разбей почленно на $y=x+\frac{441}{x}$ — так производную считать проще.
Вычисли производную $y'$ по правилам дифференцирования (степень, дробь, произведение, экспонента или логарифм — в зависимости от вида функции).
Приравняй производную к нулю: $y'=0$, реши уравнение и найди критические точки.
Отбери только те критические точки, которые попадают внутрь заданного отрезка $[a;b]$; остальные отбрось.
Подставь в исходную функцию оставшиеся критические точки и оба конца отрезка $a$ и $b$, аккуратно вычисли значения.
Сравни все полученные значения и выбери наибольшее (или наименьшее — как требуется в условии). Это и есть ответ.
Типичные ошибки и советы
Забывают отобрать корни: подставляют в функцию критические точки, которые не входят в заданный отрезок, и получают неверный экстремум.
Не проверяют концы отрезка $a$ и $b$ — а наибольшее или наименьшее значение часто достигается именно на конце, а не в критической точке.
Ошибаются в производной: путают знаки при дифференцировании дроби $\frac{c}{x}$ (её производная $-\frac{c}{x^2}$) или неверно применяют правило для сложной функции.
Путают, что ищут: в критической точке находят минимум, а в условии просят наибольшее значение (или наоборот).
Теряют минус при подстановке отрицательных $x$, например при вычислении $\frac{25}{-5}$, и получают неправильный ответ.
На отрезке наибольшее и наименьшее значение всегда достигается либо в критической точке внутри отрезка, либо на его конце — поэтому достаточно сравнить конечный набор значений, строить полный график не нужно.
Дробь вида $\frac{x^2+a}{x}$ удобно заранее разбить на $x+\frac{a}{x}$: производная считается в одну строку.
Все вычисления проверяй дважды — задание оценивается по одному числу, и любая арифметическая ошибка обнуляет верный ход решения.
Заппи объясняет каждый шаг
Застрял на задании №12? ИИ-репетитор подскажет следующий шаг, найдёт ошибку и проверит решение по фото. Всё бесплатно.