Задание №19 ЕГЭ: а) Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух…

Обозначим через \(S(x)\) сумму цифр числа \(x\).

а) Число \(2014\) можно представить в нужном виде:
\[2014=8+2006.\]
При этом
\[S(8)=8,\qquad S(2006)=2+0+0+6=8.\]
Числа различны, поэтому ответ в пункте а) да.

б) Покажем, что число \(199\) нельзя представить в таком виде.

Пусть \(199=a+b\) и \(S(a)=S(b)=t\). При сложении двух чисел сумма цифр результата меньше суммы цифр слагаемых на число, кратное \(9\). Если при сложении есть переносы, то
\[2t=S(199)+9m=19+9m,\]
где \(m\) обозначает число переносов.

Чтобы получить в результате цифру \(9\) в разряде единиц с переносом, сумма цифр единиц должна быть \(19\), что невозможно для двух цифр. Поэтому переноса из единиц нет. Аналогично, чтобы получить цифру \(9\) в разряде десятков с переносом, сумма цифр десятков должна быть \(19\), что тоже невозможно.

Значит, переносов нет, и тогда
\[2t=S(199)=19,\]
что невозможно, так как левая часть чётная. Поэтому ответ в пункте б) нет.

в) Нужно найти наименьшую сумму шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Для суммы цифр \(5\) можно взять числа
\[5,14,23,32,41,50.\]
У каждого из них сумма цифр равна \(5\), а их сумма:
\[5+14+23+32+41+50=165.\]

Для меньших сумм цифр первые шесть подходящих чисел дают большие суммы:
\[\begin{array}{c|c|c} S(x) & \text{первые шесть чисел} & \text{сумма}\\ \hline 1 & 1,10,100,1000,10000,100000 & 111111\\ 2 & 2,11,20,101,110,200 & 444\\ 3 & 3,12,21,30,102,111 & 279\\ 4 & 4,13,22,31,40,103 & 213 \end{array}\]
Для суммы цифр \(6\) первые шесть чисел уже имеют сумму
\[6+15+24+33+42+51=171>165,\]
а при большей сумме цифр первые шесть чисел не станут меньше. Поэтому минимум равен \(165\).

Ответ: а) да; б) нет; в) \(165\).

Источник: ЕГЭ 2026