Задание №19 ЕГЭ: На доске записано k последовательных натуральных чисел… — задача 6

Пусть записан отрезок из \(k\) последовательных натуральных чисел.

а) Да, могло. Например, на отрезке от \(21\) до \(92\) кратны \(20\) ровно три числа:
\[40,60,80.\]
А кратны \(23\) четыре числа:
\[23,46,69,92.\]
Значит, кратных \(20\) меньше, чем кратных \(23\), и пункт а) возможен.

б) Нет, не могло. Если на отрезке ровно \(10\) чисел, делящихся на \(20\), то длина такого отрезка не больше
\[10\cdot20+19=219.\]
Чтобы на отрезке было больше кратных \(23\), их должно быть хотя бы \(11\). Минимальная длина отрезка, содержащего \(11\) кратных \(23\), равна
\[10\cdot23+1=231.\]
Но \(231>219\), значит такая ситуация невозможна.

в) Найдём наибольшее возможное \(k\).

На любом отрезке длины \(k\) количество кратных \(20\) не меньше \(\left\lfloor\frac{k}{20}\right\rfloor\), а количество кратных \(23\) не больше \(\left\lceil\frac{k}{23}\right\rceil\).

Если \(k=140\), то
\[\left\lfloor\frac{140}{20}\right\rfloor=7, \qquad \left\lceil\frac{140}{23}\right\rceil=7.\]
Значит, при \(k=140\) кратных \(20\) не может быть меньше, чем кратных \(23\). Поэтому \(k\le139\).

Значение \(k=139\) достижимо: на отрезке от \(161\) до \(299\) кратных \(23\) семь, а кратных \(20\) шесть.

Ответ: а) да; б) нет; в) \(139\).

Источник: ЕГЭ 2025