Заппи Заппи

ЕГЭ · математика · задание 19

Задание 19 ЕГЭ (профильная математика): теория чисел

Обновлено: 19.07.2026

Задание 19 в профильном ЕГЭ по математике — это задача по теории чисел из второй части. Здесь редко нужны громоздкие формулы, но обязательны аккуратные рассуждения: подобрать пример, дать оценку и доказать, что лучше нельзя. За полное решение всех трёх пунктов дают до 4 баллов.

Задачи №19 с разбором

Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1. а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50? б) Может ли… а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух… а) Можно ли представить число 2032 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 799 в виде суммы… а) Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 199 в виде суммы… На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23. а) Могло ли среди… На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 25, меньше, чем чисел, делящихся на 29. а) Могло ли среди… На доске записано k последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 20. а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел… Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны. а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс… В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок… В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок… Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей. а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей? б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей? в)… В трёхзначном числе abc произведение его цифр abc не равно 0. а) Может ли число abc быть в девять раз больше произведения abc? б) Может ли число abc быть в 120… В трёхзначном числе abc произведение его цифр abc не равно 0. а) Может ли число abc быть в пять раз больше произведения abc? б) Может ли число abc быть в 120… На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или семи чисел из записанных является… На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых пяти или шести чисел из записанных является… На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх или пяти чисел из записанных… На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх или пяти чисел из записанных… На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является… На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых пяти или семи чисел из записанных является… На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел из записанных является… На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из… На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из… На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является… На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 15. а) Могло ли среди записанных чисел быть… На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно удвоенной сумме цифр первого, а третье равно утроенной сумме цифр второго. а) Может ли… В парке n аттракционов. С 11 до 12 часов парк посетило только n детей. Стоимость посещения каждого аттракциона составляет 10 рублей. Каждый ребёнок потратил… На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 15, меньше, чем чисел, делящихся на 17. а) Могло ли среди…

Что проверяет задание №19

Задание 19 профильного ЕГЭ по математике проверяет владение теорией чисел: понимание делимости, взаимной простоты чисел, свойств простых и составных чисел, а также умение работать с суммами и наборами чисел. Главное здесь — не вычисления, а логика: нужно уметь строить конкретные примеры (когда что-то «возможно»), давать оценки снизу или сверху и строго доказывать, что найденное значение действительно минимально или что требуемое недостижимо. Экзаменатор оценивает именно математическую аргументацию, поэтому каждый вывод должен быть обоснован.

Как решать: алгоритм

  1. Внимательно разбери условие: часто речь идёт о нескольких различных натуральных числах, которые попарно взаимно просты (никакие два не имеют общего делителя больше 1), и нужно исследовать их сумму.

  2. Найди минимально возможную сумму. Для попарно взаимно простых чисел выгодно взять $1$ (оно взаимно просто с любым числом) и дальше наименьшие простые: например $1,2,3,5,7,11,13,\dots$ — их сумма и даёт минимум (пункт «в»).

  3. Для пункта «а» (можно ли получить конкретную сумму) подбери конкретный пример набора и обязательно проверь, что все числа различны и попарно взаимно просты.

  4. Для пункта «б» (доказать, что сумма невозможна) рассуждай от противного: оцени снизу. Если $1$ в наборе нет, сумма не меньше суммы соответствующего числа наименьших простых; сравни с требуемым значением.

  5. Если оценка показывает, что $1$ обязан входить в набор, разбери остальные числа: у попарно взаимно простых чисел, больших 1, все наименьшие простые делители различны, а составное число не меньше своего простого делителя.

  6. Перебором ближайших допустимых сумм покажи, что нужное значение «проскакивается» и не достигается — это и есть доказательство невозможности.

  7. Оформи все три пункта отдельно: в «а» — пример, в «б» — строгое обоснование невозможности, в «в» — и пример минимального набора, и доказательство, что меньше нельзя.

Типичные ошибки и советы

  • В пункте «в» находят пример минимального набора, но забывают доказать, что меньшую сумму получить нельзя — за это снижают балл.

  • Путают «попарно взаимно простые» с «взаимно простыми в совокупности» и берут, например, числа $6$ и $10$, у которых есть общий делитель $2$.

  • Забывают, что число $1$ можно и часто нужно включать в набор: оно взаимно просто с любым числом и уменьшает сумму.

  • В пункте «б» приводят один-два примера, где сумма не получилась, и считают это доказательством, хотя невозможность нужно обосновать оценкой и перебором ближайших значений.

  • Берут не все числа различными или упускают, что составное число не меньше своего наименьшего простого делителя, из-за чего оценка выходит неверной.

  • Начинай с пункта «в»: найденный минимальный набор ($1$ и наименьшие простые) сразу подсказывает идеи для пунктов «а» и «б».

  • Даже частичное решение приносит баллы — оформляй каждый пункт отдельно, не бросай задачу, если не получилось осилить все три части.

  • Держи под рукой ряд простых чисел $2,3,5,7,11,13,17,19,23$ — в задачах на взаимную простоту он нужен постоянно.

Заппи объясняет каждый шаг

Застрял на задании №19? ИИ-репетитор подскажет следующий шаг, найдёт ошибку и проверит решение по фото. Всё бесплатно.

Готовиться вместе с Заппи