Обозначим через \(S(x)\) сумму цифр числа \(x\).
а) Число \(2043\) можно представить в нужном виде:
\[2043=9+2034.\]
При этом
\[S(9)=9,\qquad S(2034)=2+0+3+4=9.\]
Числа различны, поэтому ответ в пункте а) да.
б) Покажем, что число \(599\) нельзя представить в таком виде.
Пусть \(599=a+b\) и \(S(a)=S(b)=t\). При сложении двух чисел сумма цифр результата меньше суммы цифр слагаемых на число, кратное \(9\). Значит,
\[2t=S(599)+9m=23+9m,\]
где \(m\) обозначает число переносов при сложении по разрядам.
Так как \(2t\) чётно, \(m\) должно быть нечётным. В сумме двух трёхзначных чисел до \(599\) возможны только переносы из единиц и десятков, значит \(m=1\).
Но число \(599\) имеет цифру \(9\) и в разряде единиц, и в разряде десятков. Если единственный перенос идёт из единиц, то сумма цифр единиц должна быть \(19\), что невозможно для двух цифр. Если единственный перенос идёт из десятков, то сумма цифр десятков должна быть \(19\), что также невозможно. Противоречие. Значит, ответ в пункте б) нет.
в) Нужно найти наименьшую сумму семи различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
Для суммы цифр \(6\) можно взять числа
\[6,15,24,33,42,51,60.\]
У каждого из них сумма цифр равна \(6\), а их сумма:
\[6+15+24+33+42+51+60=231.\]
Для меньших сумм цифр первые семь подходящих чисел дают большие суммы:
\[\begin{array}{c|c|c} S(x) & \text{первые семь чисел} & \text{сумма}\\ \hline 1 & 1,10,100,1000,10000,100000,1000000 & 1111111\\ 2 & 2,11,20,101,110,200,1001 & 1445\\ 3 & 3,12,21,30,102,111,120 & 399\\ 4 & 4,13,22,31,40,103,112 & 325\\ 5 & 5,14,23,32,41,50,104 & 269 \end{array}\]
Для суммы цифр \(7\) первые семь чисел уже имеют сумму
\[7+16+25+34+43+52+61=238>231,\]
а при большей сумме цифр первые семь чисел не станут меньше. Поэтому минимум равен \(231\).
Ответ: а) да; б) нет; в) \(231\).
Источник: ЕГЭ 2026
Войти через Telegram
Войти через MAX