Задание №19 ЕГЭ: Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не…

Число \(1\) можно брать вместе с любыми натуральными числами, потому что оно не имеет общего делителя больше \(1\) ни с одним числом.

Минимальная возможная сумма семи попарно взаимно простых различных натуральных чисел получается для набора
\[1,2,3,5,7,11,13.\]
Его сумма:
\[1+2+3+5+7+11+13=42.\]

а) Сумма \(50\) возможна. Например:
\[1+2+3+5+7+13+19=50.\]
Все эти числа попарно взаимно просты. Значит, ответ в пункте а) да.

б) Покажем, что сумма \(47\) невозможна.

Если бы числа \(1\) среди семи чисел не было, то сумма была бы не меньше суммы семи наименьших простых чисел:
\[2+3+5+7+11+13+17=58>47.\]
Значит, число \(1\) обязательно входит в набор, а остальные шесть чисел больше \(1\).

Сумма шести наименьших возможных простых делителей равна
\[2+3+5+7+11+13=41.\]
Для общей суммы \(47\) сумма шести чисел больше \(1\) должна быть \(46\). Ближайшие суммы шести различных простых делителей: \(41\) и \(45\). Получить \(46\) нельзя: при сумме простых делителей \(45\) нужно увеличить одно число на \(1\), а составное число больше своего наименьшего простого делителя как минимум на \(2\); при сумме \(41\) нужен прирост \(5\), который также невозможен такими заменами.

в) Наименьшая возможная сумма уже найдена:
\[42.\]

Ответ: а) да; б) нет; в) \(42\).

Источник: ЕГЭ 2026