Задание №19 ЕГЭ: На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет… — задача 23

Если среднее арифметическое любых \(m\) записанных чисел является целым, то все записанные числа имеют одинаковые остатки по модулю \(m\). Действительно, если в наборе из \(m\) чисел заменить одно число на другое, то разность двух сумм должна делиться на \(m\).

В задаче это условие выполнено для \(m=3,4,5,6\). Поэтому все числа имеют один и тот же остаток по модулю
\[\operatorname{lcm}(3,4,5,6)=60.\]
Так как среди чисел есть \(30021\), каждое записанное число сравнимо с ним:
\[x\equiv 30021\equiv 21\pmod{60}.\]

а) Проверим число \(351\):
\[351\equiv 51\pmod{60}.\]
Остаток не совпадает с \(21\), значит число \(351\) не может быть среди записанных.

б) Для отношения \(11\) нужны два записанных числа \(x\) и \(11x\). Оба должны давать остаток \(21\) по модулю \(60\). Тогда
\[11x-x=10x\]
должно делиться на \(60\). Но при \(x\equiv 21\pmod{60}\)
\[10x\equiv 10\cdot 21=210\equiv 30\pmod{60}.\]
Это не делится на \(60\), поэтому отношение \(11\) невозможно.

в) Пусть отношение двух записанных чисел равно целому числу \(n\). Тогда числа \(x\) и \(nx\) должны иметь один и тот же остаток \(21\) по модулю \(60\), то есть
\[(n-1)\cdot 21\equiv 0\pmod{60}.\]
Так как \(\gcd(21,60)=3\), получаем
\[20\mid 7(n-1).\]
Числа \(7\) и \(20\) взаимно просты, значит \(20\mid(n-1)\). Минимальное \(n>1\) равно \(21\).

Ответ: а) нет; б) нет; в) \(21\).

Источник: ЕГЭ 2025