Задание №19 ЕГЭ: На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет… — задача 22

Если среднее арифметическое любых \(m\) записанных чисел является целым, то все записанные числа имеют одинаковые остатки по модулю \(m\). Действительно, если в наборе из \(m\) чисел заменить одно число на другое, то разность двух сумм должна делиться на \(m\).

В задаче это условие выполнено для \(m=3,4,5,6\). Поэтому все числа имеют один и тот же остаток по модулю
\[\operatorname{lcm}(3,4,5,6)=60.\]
Так как среди чисел есть \(30033\), каждое записанное число сравнимо с ним:
\[x\equiv 30033\equiv 33\pmod{60}.\]

а) Проверим число \(303\):
\[303\equiv 3\pmod{60}.\]
Остаток не совпадает с \(33\), значит число \(303\) не может быть среди записанных.

б) Для отношения \(31\) нужны два записанных числа \(x\) и \(31x\). Оба должны давать остаток \(33\) по модулю \(60\). Тогда
\[31x-x=30x\]
должно делиться на \(60\). Но при \(x\equiv 33\pmod{60}\) получаем
\[30x\equiv 30\cdot 33\equiv 30\pmod{60}.\]
Это не делится на \(60\), поэтому отношение \(31\) невозможно.

в) Пусть отношение двух записанных чисел равно \(n^2\). Тогда числа \(x\) и \(n^2x\) должны иметь один и тот же остаток \(33\) по модулю \(60\), то есть
\[(n^2-1)\cdot 33\equiv 0\pmod{60}.\]
Так как \(\gcd(33,60)=3\), получаем
\[n^2\equiv 1\pmod{20}.\]
Наименьшее \(n>1\), для которого это верно, равно \(9\):
\[9^2=81\equiv 1\pmod{20}.\]

Ответ: а) нет; б) нет; в) \(9\).

Источник: ЕГЭ 2025