Рассматриваем отрезок из \(k\) последовательных натуральных чисел. Нужно, чтобы чисел, делящихся на \(15\), было меньше, чем чисел, делящихся на \(17\).
а) Да, возможно. Например, возьмём отрезок от \(17\) до \(68\). Числа, кратные \(15\):
\[30,45,60\]
Их ровно три. Числа, кратные \(17\):
\[17,34,51,68\]
Их четыре. Значит кратных \(15\) меньше.
б) Нет, ровно десять чисел, делящихся на \(15\), быть не может. Если на отрезке ровно десять кратных \(15\), то его длина не больше
\[11\cdot 15-1=164.\]
Иначе на любом таком отрезке обязательно встретились бы уже одиннадцать кратных \(15\).
Чтобы чисел, делящихся на \(17\), было больше десяти, на отрезке должны находиться хотя бы одиннадцать кратных \(17\). Для этого нужна длина не меньше
\[10\cdot 17+1=171.\]
Одновременно длина не может быть и не больше \(164\), и не меньше \(171\). Поэтому пункт б) невозможен.
в) Пример длины \(104\) существует:
\[16,17,18,\dots,119.\]
Здесь \(k=104\). Кратные \(17\):
\[17,34,51,68,85,102,119\]
Их семь. Кратные \(15\):
\[30,45,60,75,90,105\]
Их шесть.
Докажем, что \(k\ge105\) невозможно. На любом отрезке длины \(k\) количество кратных \(15\) не меньше
\[\left\lfloor \frac{k}{15}\right\rfloor,\]
а количество кратных \(17\) не больше
\[\left\lceil \frac{k}{17}\right\rceil.\]
При \(k\ge105\) верно неравенство
\[\left\lfloor \frac{k}{15}\right\rfloor \ge \left\lceil \frac{k}{17}\right\rceil.\]
Значит даже в самом выгодном расположении кратных \(17\) не может быть больше, чем кратных \(15\). Поэтому длина \(105\) и больше не подходит.
Следовательно, наибольшее возможное значение равно \(104\).
Ответ: а) да; б) нет; в) \(104\).
Источник: ЕГЭ 2025
Войти через Telegram
Войти через MAX