Будем считать не рубли, а количество посещений. Одно посещение стоит 10 рублей. Каждый ребёнок сделал либо 3, либо 4, либо 5 посещений.
а) Если каждый из \(n\) аттракционов получил по 80 рублей, то каждый аттракцион посетили по 8 раз. Тогда всего посещений было
\[8n.\]
Но каждый из \(n\) детей мог сделать не больше 5 посещений, значит всего посещений не больше
\[5n.\]
Так как \(8n>5n\), такая ситуация невозможна.
б) Нужно, чтобы все \(n\) аттракционов получили одинаковую выручку, то есть были посещены одинаковое число раз. При \(n=1\) все дети представлены одним ребёнком, условие «не все дети потратили поровну» не выполняется. Покажем, что \(n=2\) возможно.
Пусть первый ребёнок сделал 3 посещения, а второй сделал 5 посещений. Всего посещений
\[3+5=8.\]
Их можно распределить поровну между двумя аттракционами: по 4 посещения на каждый. Тогда выручка каждого аттракциона равна 40 рублей, а дети потратили разные суммы. Значит минимальное \(n\) равно 2.
в) Пусть выручки всех \(n\) аттракционов различны. Тогда количества посещений этих аттракционов являются различными неотрицательными целыми числами. Минимальная возможная сумма \(n\) различных неотрицательных целых чисел равна
\[0+1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}2.\]
С другой стороны, каждый из \(n\) детей делает не больше 5 посещений, значит общее число посещений не больше \(5n\). Поэтому
\[\frac{n(n-1)}2\le5n.\]
Так как \(n>0\), получаем
\[n-1\le10, \qquad n\le11.\]
При \(n=11\) минимальная сумма различных посещений равна
\[0+1+\dots+10=55=5\cdot11.\]
Тогда каждый ребёнок должен был бы сделать ровно 5 посещений, то есть все дети потратили бы поровну, что запрещено условием.
При \(n=10\) можно взять количества посещений аттракционов
\[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.\]
Их сумма равна 45. Это можно получить, например, если пять детей сделали по 4 посещения, а пять детей сделали по 5 посещений:
\[5\cdot4+5\cdot5=45.\]
Дети потратили не поровну, а выручки всех аттракционов различны. Значит наибольшее возможное число детей равно 10.
Ответ: а) нет; б) \(2\); в) \(10\).
Источник: ЕГЭ 2025
Войти через Telegram
Войти через MAX