Задание №19 ЕГЭ: На доске записано некоторое количество последовательных…

На доске записаны последовательные натуральные числа, среди которых ровно пять делятся на 15.

а) Да, возможно. Например, отрезок от 16 до 96 содержит ровно пять кратных 15:
\[30,45,60,75,90,\]
и шесть кратных 16:
\[16,32,48,64,80,96.\]

б) Да, возможно. Так как кратные 11 встречаются чаще, чем кратные 15, можно взять достаточно длинный отрезок. Например, на отрезке от 30 до 90 кратных 15 ровно пять:
\[30,45,60,75,90,\]
а кратных 11 шесть:
\[33,44,55,66,77,88.\]

в) Для того чтобы чисел, делящихся на \(k\), было больше пяти, на отрезке должны находиться хотя бы шесть кратных \(k\). Минимальная длина такого отрезка равна
\[5k+1.\]

Если среди последовательных чисел ровно пять кратных 15, длина отрезка не может превышать
\[6\cdot15-1=89,\]
иначе обязательно встретились бы шесть кратных 15.

Значит
\[5k+1\le89, \qquad 5k\le88, \qquad k\le17.\]
Значение \(k=17\) достижимо: отрезок от 17 до 102 содержит шесть кратных 17 и ровно пять кратных 15.

Ответ: а) да; б) да; в) \(17\).

Источник: ЕГЭ 2025