Задание №19 ЕГЭ: На доске написаны три различных натуральных числа. Второе…

Пусть первое число равно \(x\), сумма его цифр равна \(s(x)\). Тогда второе число равно
\[y=2s(x),\]
а третье число равно
\[z=3s(y)=3s(2s(x)).\]

а) Приведём пример для суммы 2025:
\[x=1973, \qquad s(x)=1+9+7+3=20.\]
Тогда
\[y=2\cdot20=40, \qquad z=3s(40)=3\cdot4=12.\]
Получаем
\[1973+40+12=2025.\]
Все три числа различны, значит такая сумма возможна.

б) Докажем, что сумма 2026 невозможна. Предположим, что
\[x+2s(x)+3s(2s(x))=2026.\]
Используем свойство суммы цифр:
\[x\equiv s(x)\pmod9.\]
Обозначим \(d=s(x)\). Тогда из равенства получаем по модулю 9:
\[d+2d+3s(2d)\equiv2026\pmod9.\]
Так как \(2026\equiv1\pmod9\), имеем
\[3d+3s(2d)\equiv1\pmod9.\]
Левая часть делится на 3, а правая часть при делении на 3 даёт остаток 1. Противоречие. Значит сумма 2026 невозможна.

в) Пусть третье число равно 12. Тогда
\[3s(y)=12, \qquad s(y)=4.\]
Но \(y=2s(x)\). Для четырёхзначного числа \(x\) сумма цифр \(d=s(x)\) может принимать значения от 1 до 36. Нужно, чтобы
\[s(2d)=4.\]
Проверка чисел \(2d\) от 2 до 72 даёт только три возможных значения:
\[d=2, \qquad d=11, \qquad d=20.\]

Осталось посчитать четырёхзначные числа с суммой цифр 2, 11 и 20. Пусть \(x=\overline{abcd}\), где \(a\ge1\). Положим \(a'=a-1\). Тогда
\[a'+b+c+d=s(x)-1,\]
где \(0\le a'\le8\), \(0\le b,c,d\le9\).

Для суммы цифр 2 получаем 4 числа. Для суммы цифр 11 количество решений равно
\[C_{13}^{3}-4-3=286-7=279.\]
Для суммы цифр 20 количество решений равно
\[C_{22}^{3}-C_{13}^{3}-3C_{12}^{3}+3=1540-286-660+3=597.\]
Всего подходит
\[4+279+597=880\]
четырёхзначных чисел.

Ответ: а) да; б) нет; в) \(880\).

Источник: Ященко