Задание №23 ОГЭ: Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите… — задача 28

Рисунок. Изображена окружность с центром $O$ и двумя хордами $AB$ и $CD$; из центра $O$ опущены перпендикуляры на каждую хорду, длины которых равны расстояниям от центра до соответствующих хорд. На чертеже отмечены $AB = 30$, $CD = 40$ и расстояние от $O$ до $AB$, равное $20$; требуется найти расстояние от $O$ до хорды $CD$.

Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — её радиус. Перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам, поэтому, применяя теорему Пифагора к треугольнику, образованному радиусом, половиной хорды $AB$ и расстоянием до неё, получаем $R^2 = \left(\dfrac{AB}{2}\right)^2 + 20^2 = 15^2 + 20^2 = 625$. Расстояние от центра до хорды $CD$ равно $\sqrt{R^2 - \left(\dfrac{CD}{2}\right)^2} = \sqrt{625 - 20^2} = \sqrt{225} = 15$.

Ответ: 15

Источник: Банк ФИПИ