Задание №24 ОГЭ: Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек…

Рисунок. Две окружности с центрами $P$ и $Q$ расположены вне друг друга. К ним проведена внутренняя общая касательная, касающаяся окружностей в точках $X$ и $Y$ (по разные стороны от $PQ$) и пересекающая отрезок центров в точке $O$.

Пусть внутренняя общая касательная касается окружностей в точках $X$ (на окружности с центром $P$) и $Y$ (на окружности с центром $Q$) и пересекает отрезок $PQ$ в точке $O$, причём $PO:OQ=a:b$ (точка $O$ лежит между $P$ и $Q$, так как касательная — внутренняя).

Радиусы $PX$ и $QY$ перпендикулярны касательной, следовательно $PX\parallel QY$; при этом $X$ и $Y$ лежат по разные стороны от прямой $PQ$ (внутренняя касательная).

Рассмотрим $\triangle PXO$ и $\triangle QYO$. У них $\angle PXO=\angle QYO=90^\circ$ и $\angle POX=\angle QOY$ как вертикальные. По первому признаку подобия треугольники подобны.

Из подобия $\dfrac{PX}{QY}=\dfrac{PO}{OQ}=\dfrac{a}{b}$. Диаметры относятся так же, как радиусы, поэтому $d_P:d_Q=a:b$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ