Задание №24 ОГЭ: Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек…

Рисунок. Две непересекающиеся окружности с центрами $I$ и $J$, лежащие вне друг друга. К ним проведена внутренняя общая касательная, касающаяся окружностей в точках $X$ и $Y$ и пересекающая отрезок $IJ$ во внутренней точке $O$.

Пусть внутренняя общая касательная касается окружностей в точках $X$ (на окружности с центром $I$) и $Y$ (на окружности с центром $J$), а прямую $IJ$ пересекает в точке $O$, причём $IO:OJ=m:n$.

Радиусы $IX$ и $JY$ перпендикулярны касательной ($IX\perp XY$, $JY\perp XY$ — радиус в точку касания). Значит, $IX\parallel JY$. Так как касательная внутренняя, точки $X$ и $Y$ лежат по разные стороны от прямой $IJ$.

Рассмотрим $\triangle IXO$ и $\triangle JYO$: $\angle IXO=\angle JYO=90^\circ$, $\angle IOX=\angle JOY$ как вертикальные. Значит, треугольники подобны (по двум углам).

Из подобия: $\dfrac{IX}{JY}=\dfrac{IO}{JO}=\dfrac{m}{n}$. Поскольку $IX$ и $JY$ — радиусы, то и диаметры относятся как $2\,IX:2\,JY=m:n$.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ