Заппи Заппи

ОГЭ · математика · задание 24

Задание 24 ОГЭ по математике: геометрия на доказательство

Обновлено: 19.07.2026

Задание 24 ОГЭ по математике — это первая задача второй части по геометрии, где нужно не посчитать ответ, а строго доказать утверждение. Чаще всего встречаются трапеции, треугольники и параллелограммы: например, требуется доказать, что треугольник, построенный на середине боковой стороны трапеции, равен по площади половине самой трапеции. Здесь важно не угадать число, а выстроить связную цепочку обоснованных рассуждений.

Задачи №24 с разбором

Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции. повышенный В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны. повышенный В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны. повышенный В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны. повышенный В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны. повышенный В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны. повышенный В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны. повышенный В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы AA₁C₁ и ACC₁ равны. повышенный В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что углы BB₁C₁ и BCC₁ равны. повышенный В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны. повышенный В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны. повышенный В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны. повышенный Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. повышенный Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. повышенный Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4,5 и 18, BD = 9. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. повышенный Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках K и M соответственно. Докажите, что отрезки… повышенный Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что отрезки… повышенный Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки… повышенный Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N — середина CD. повышенный Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD. повышенный Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC. Докажите, что K — середина BC. повышенный Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что AK — биссектриса угла BAD. повышенный Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка L — середина стороны AB. Докажите, что CL — биссектриса угла BCD. повышенный Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка L — середина стороны AB. Докажите, что DL — биссектриса угла ADC. повышенный Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD. повышенный Биссектрисы углов A и B четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD. повышенный Биссектрисы углов A и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD. повышенный На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади… повышенный На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади… повышенный На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади… повышенный Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма. повышенный Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма. повышенный Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST… повышенный Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые AB и IJ… повышенный Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причём точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что PQ KL. повышенный Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит… повышенный Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит… повышенный

Что проверяет задание №24

Задание 24 проверяет умение доказывать геометрические факты, а не просто применять формулы. Экзаменатор смотрит, владеешь ли ты определениями и свойствами фигур (трапеции, треугольника, параллелограмма), признаками равенства и подобия треугольников, свойством средней линии и умением сравнивать площади через общее основание или высоту. Оценивается логика: каждый шаг должен опираться на теорему или уже доказанный факт, а вывод — честно приводить к требуемому равенству. Фактически это тренировка математической строгости, которая пригодится и в старших классах.

Как решать: алгоритм

  1. Внимательно прочитай условие и сделай аккуратный чертёж; отметь все данные (середины, параллельность оснований, равные стороны, высоту) прямо на рисунке.

  2. Выпиши, что дано и что требуется доказать. Вспомни определения и признаки, связанные с фигурой: свойства трапеции, средней линии, признаки равенства и подобия треугольников, свойства медиан и высот.

  3. Для задач на площади используй базовые формулы: площадь трапеции $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$, площадь треугольника $S=\dfrac{1}{2}ah$; удобно сравнивать площади треугольников с общей высотой или общим основанием.

  4. Построй цепочку рассуждений: если точка — середина отрезка, то она делит соответствующий треугольник на два равновеликих (равных по площади). Разбей фигуру на удобные части и вырази нужные площади через основания и высоту.

  5. Соедини шаги в логичную последовательность: каждое утверждение обоснуй ссылкой на теорему, признак или уже доказанный факт — без пропусков «это очевидно».

  6. Доведи выкладку до конца и явно получи требуемое равенство, например $S_{ECD}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}$, и заверши словами «что и требовалось доказать».

Типичные ошибки и советы

  • Подмена доказательства проверкой на конкретных числах: ученик берёт трапецию с основаниями 4 и 6 и «убеждается» на примере, хотя доказать нужно для любой фигуры.

  • Отсутствие обоснований: пишут «очевидно, что площади равны» без ссылки на признак равенства треугольников, свойство середины или формулу площади.

  • Ошибки с площадями: путают, что при переходе к половине основания площадь треугольника уменьшается вдвое, теряют множители $\dfrac{1}{2}$ или неверно берут высоту.

  • Плохой чертёж: не отмечают середины и параллельность оснований, из-за чего рассуждение опирается на неверную картинку.

  • Незавершённое доказательство: обрывают выкладку, не доводя до итогового равенства вида $S_{KAB}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}$ и без фразы «что и требовалось доказать».

  • Всегда делай крупный аккуратный чертёж и подписывай на нём все данные — половина задач «раскрывается» именно на рисунке.

  • Помни ключевой приём: середина стороны делит треугольник на два равновеликих, а площади треугольников с общей высотой относятся как их основания.

  • Записывай решение полными предложениями с обоснованиями — за логичную цепочку без пробелов эксперт ставит полный балл, даже если запись длиннее.

Заппи объясняет каждый шаг

Застрял на задании №24? ИИ-репетитор подскажет следующий шаг, найдёт ошибку и проверит решение по фото. Всё бесплатно.

Готовиться вместе с Заппи