Задание №24 ОГЭ: Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD…

Рисунок. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ (внизу) и $BC$ (вверху). На боковой стороне $AB$ отмечена её середина $E$; из $E$ проведены отрезки $EC$ и $ED$, образующие треугольник $ECD$, вершина которого $E$ лежит на боковой стороне.

Пусть $AD=a$, $BC=b$, высота трапеции $h$. Тогда $S_{ABCD}=\dfrac{(a+b)h}{2}$.

Так как $E$ — середина $AB$, то у треугольников $AED$ и $BED$ общее основание $ED$... воспользуемся более удобным разбиением. У треугольников $AED$ и $ABD$ общая вершина $D$, а $E$ — середина $AB$, поэтому $S_{AED}=\dfrac{1}{2}S_{ABD}$. Площадь $S_{ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot h=\dfrac{ah}{2}$, значит $S_{AED}=\dfrac{ah}{4}$.

Аналогично у треугольников $BEC$ и $ABC$ общая вершина $C$, а $E$ — середина $AB$, поэтому $S_{BEC}=\dfrac{1}{2}S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot h=\dfrac{bh}{4}$.

Треугольник $ECD$ получается, если из трапеции $ABCD$ вырезать треугольники $AED$ и $BEC$: $$S_{ECD}=S_{ABCD}-S_{AED}-S_{BEC}=\dfrac{(a+b)h}{2}-\dfrac{ah}{4}-\dfrac{bh}{4}=\dfrac{(a+b)h}{2}-\dfrac{(a+b)h}{4}=\dfrac{(a+b)h}{4}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}.$$

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ