Задание №24 ОГЭ: В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали… — задача 3

Рисунок. Изображена трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Проведены диагонали $AC$ и $BD$, пересекающиеся в точке $P$; получены четыре треугольника $APB$, $BPC$, $CPD$, $APD$.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. Они имеют общее основание $AD$ и равные высоты, опущенные из вершин $B$ и $C$ на прямую $AD$ (так как $BC\parallel AD$, точки $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $AD$).

Следовательно, $S_{ABD}=S_{ACD}$.

Вычтем из обеих частей площадь общего треугольника $APD$: $$S_{ABD}-S_{APD}=S_{ACD}-S_{APD},$$ откуда $S_{APB}=S_{CPD}$.

Теорема об отношении площадей треугольников с общим основанием и равными высотами доказана в школьном курсе геометрии. Вывод получен.

Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ