Задание №25 ОГЭ: Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в… — задача 4

Рисунок. Параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB$ и $BC=2$; из вершин $A$ и $B$ проведены биссектрисы углов $A$ и $B$, пересекающиеся в точке $K$ внутри параллелограмма. Отмечены равные расстояния от $K$ до прямых $AB$ и $AD$, равные $8$.

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма пересекаются под прямым углом, так как $\angle A+\angle B=180^\circ$. Пусть $\angle A=2\alpha$. Точка $K$ лежит на биссектрисе $\angle A$, значит $\mathrm{dist}(K,AB)=\mathrm{dist}(K,AD)=8$. В прямоугольном $\triangle AKB$: $\angle KAB=\alpha$, $\angle KBA=90^\circ-\alpha$, $\angle AKB=90^\circ$. Высота из $K$ на $AB$ равна $8$. Значит $AB=\dfrac{8}{\sin\alpha\cos\alpha}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 2=\dfrac{2\cdot 8}{\sin 2\alpha}$. Площадь параллелограмма $S=AB\cdot BC\cdot\sin\angle B=AB\cdot BC\cdot\sin 2\alpha=2\cdot 8\cdot BC=2\cdot 8\cdot 2=32$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ