Задание №25 ОГЭ: Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в… — задача 5

Рисунок. Параллелограмм $ABCD$ со стороной $BC=6$; биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $K$ внутри параллелограмма под прямым углом. Отмечен перпендикуляр из $K$ на сторону $AB$ длины $6$.

Углы $A$ и $B$ параллелограмма в сумме дают $180^\circ$, поэтому их биссектрисы перпендикулярны. Пусть $\angle A=2\alpha$. $K$ лежит на биссектрисе $\angle A$: $\mathrm{dist}(K,AB)=\mathrm{dist}(K,AD)=6$. В $\triangle AKB$ с $\angle AKB=90^\circ$ высота из $K$ на $AB$ равна $6$. Получаем $AB=\dfrac{2\cdot 6}{\sin 2\alpha}$. Площадь $S=AB\cdot BC\cdot\sin 2\alpha=2\cdot 6\cdot BC=2\cdot 6\cdot 6=72$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ