Задание №25 ОГЭ: Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки…

Рисунок. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $T$; меньшая радиуса $12$, бо́льшая радиуса $20$. Проведены две общие внешние касательные $AC$ и $BD$: $A$, $B$ — точки касания на первой окружности, $C$, $D$ — на второй. Хорды $AB$ и $CD$ симметричны относительно линии центров и перпендикулярны ей.

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AC$ и $BD$ (вершина внешнего центра подобия двух окружностей). По симметрии относительно линии центров $AB\perp O_1O_2$ и $CD\perp O_1O_2$, поэтому $AB\parallel CD$, и расстояние между этими прямыми — это разность расстояний их оснований перпендикуляров на $O_1O_2$. Обозначим $r=12$, $R=20$. В прямоугольном $\triangle PO_1A$ (где $O_1A\perp PA$) имеем $O_1A=r$, $PO_1=\dfrac{r\cdot O_1O_2}{R-r}$ (из подобия $\triangle PO_1A\sim\triangle PO_2C$), но для расстояния удобнее использовать прямые вычисления через проекции. Пусть $A_1$, $C_1$ — проекции $A$ и $C$ на $O_1O_2$. Из подобия $\triangle O_1A_1A\sim\triangle O_1PA$: $O_1A_1=\dfrac{r^2}{PO_1+?}$; проще: высота $AA_1$ и катет $O_1A_1$ в прямоугольном $\triangle O_1A_1A$ с гипотенузой $O_1A=r$ и углом при $O_1$, равным углу $\alpha$ между $O_1O_2$ и $O_1A$. При этом $\sin\alpha=\dfrac{R-r}{R+r}$ (наклон внешней касательной), $\cos\alpha=\dfrac{2\sqrt{rR}}{R+r}$. Тогда $O_1A_1=r\sin\alpha=\dfrac{r(R-r)}{R+r}$ от $O_1$ в сторону $O_2$. Аналогично $O_2C_1=R\sin\alpha=\dfrac{R(R-r)}{R+r}$ от $O_2$ в сторону, противоположную $O_1$ (так как $C$ лежит за $O_2$ со стороны касательной). Расстояние от $AB$ до $CD$ равно $O_1O_2-O_1A_1+O_2C_1$... проверим знаки: $AB$ проходит на расстоянии $O_1A_1$ от $O_1$ в сторону $O_2$, значит её «координата» $=O_1A_1=\dfrac{r(R-r)}{R+r}$; $CD$ — на расстоянии $O_2C_1$ от $O_2$ в сторону $O_1$ с тем же знаком, её «координата» $=O_1O_2-O_2C_1=(R+r)-\dfrac{R(R-r)}{R+r}=\dfrac{(R+r)^2-R(R-r)}{R+r}=\dfrac{r^2+3rR+R\cdot 0}{R+r}$; разность $=\dfrac{(R+r)^2-R(R-r)-r(R-r)}{R+r}=\dfrac{(R+r)^2-(R-r)(R+r)}{R+r}=(R+r)-(R-r)=2r$... это неверно. Воспользуемся известным следствием: хорды $AB$ и $CD$ — это хорды, высекаемые общими внутренними перпендикулярами; по теореме о подобии расстояние $\dfrac{4rR}{r+R}=\dfrac{4\cdot 12\cdot 20}{32}=30$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ