Задание №25 ОГЭ: На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на… — задача 27

Рисунок. Остроугольный треугольник $ABC$; высота $AD$ опущена на $BC$. На $BC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая $AD$ в точке $M$. Ортоцентр $H$ отмечен на отрезке $AD$ между $A$ и $D$.

На полуокружности с диаметром $BC$ угол $\angle BMC=90^\circ$, $MD\perp BC$, значит $MD^2=BD\cdot DC$. По степени точки $D$ в описанной окружности $\triangle ABC$: $BD\cdot DC=AD\cdot DH$ (так как отражение $H$ относительно $BC$ лежит на описанной окружности). Тогда $DH=\dfrac{MD^2}{AD}=\dfrac{69^2}{90}=\dfrac{4761}{90}=52{,}9$. $AH=AD-DH=90-52{,}9=37{,}1$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ