Задание №25 ОГЭ: Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки…

Рисунок. Две окружности радиусов $45$ и $90$ касаются внешним образом в точке $T$; центры $O_1$, $O_2$, $O_1O_2=135$. Общие внешние касательные $AC$ и $BD$ касаются первой окружности в $A$, $B$ и второй в $C$, $D$; хорды $AB$ и $CD$ параллельны и перпендикулярны линии центров.

Радиусы $r=45$, $R=90$. $O_1O_2=135$. По симметрии относительно линии центров $AB\parallel CD\perp O_1O_2$. Из подобия прямоугольных треугольников, образованных радиусом к точке касания и проекцией на линию центров, получаем известное следствие: расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно $\dfrac{4rR}{r+R}=\dfrac{4\cdot 45\cdot 90}{135}=120$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ