Задание №25 ОГЭ: Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 39 и CD = 12 вписан…

Рисунок. Вписанный в окружность четырёхугольник $ABCD$ с $AB=39$, $CD=12$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются внутри окружности в точке $K$ под углом $60^\circ$. Отмечены дуги $AB$ и $CD$, не содержащие других вершин.

Угол между диагоналями вписанного четырёхугольника равен полусумме дуг, на которые опираются: $\angle AKB=\dfrac{\smile AB+\smile CD}{2}=60^\circ$, значит $\smile AB+\smile CD=120^\circ$. Пусть $\smile AB=2\alpha$, $\smile CD=2\gamma$, $\alpha+\gamma=60^\circ$. $AB=2R\sin\alpha$, $CD=2R\sin\gamma$. При $\alpha+\gamma=60^\circ$ справедливо тождество $\sin^2\alpha+\sin^2\gamma+\sin\alpha\sin\gamma=\dfrac{3}{4}$. Отсюда $AB^2+AB\cdot CD+CD^2=3R^2$. Подставляя $AB=39$, $CD=12$: $R^2=\dfrac{1521+468+144}{3}=711$, $R=3\sqrt{79}$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ