Задание №25 ОГЭ: Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12…

Рисунок. Равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC=12$ и равными сторонами $AB=BC$. Вне треугольника (со стороны, противоположной $B$) проведена окружность радиуса $8$, касающаяся основания $AC$ и продолжений боковых сторон $BA$ и $BC$ за точки $A$ и $C$ — это вневписанная окружность, противоположная вершине $B$.

$AC=12$ — основание равнобедренного $\triangle ABC$, $AB=BC=a$. Окружность радиуса $r_B=8$ — вневписанная, касающаяся стороны $AC$ и продолжений $AB$, $BC$. Её радиус: $r_B=\dfrac{S}{s-b}$, где $b=AC=12$, $s=a+6$, $s-b=a-6$. Высота из $B$ к $AC$: $h=\sqrt{a^2-36}$, площадь $S=\dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot h=6\sqrt{a^2-36}$. Тогда $\dfrac{6\sqrt{a^2-36}}{a-6}=8$, возводя в квадрат: $\dfrac{36(a+6)(a-6)}{(a-6)^2}=64$, $\dfrac{36(a+6)}{a-6}=64$, $9(a+6)=16(a-6)$, $9a+54=16a-96$, $a=\dfrac{150}{7}$. $\sqrt{a^2-36}=\sqrt{\dfrac{22500}{49}-36}=\sqrt{\dfrac{20736}{49}}=\dfrac{144}{7}$, $S=\dfrac{864}{7}$, $s=\dfrac{150}{7}+6=\dfrac{192}{7}$. Радиус вписанной окружности $r=\dfrac{S}{s}=\dfrac{864}{192}=4{,}5$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ