Задание №25 ОГЭ: В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O… — задача 45

Рисунок. Параллелограмм $ABCD$ с диагональю $AC$; $O$ — центр вписанной в $\triangle ABC$ окружности; $AO=25$, расстояние от $O$ до $AD$ равно $13$, до $AC$ равно $7$.

$r=7$, $AO=25$, значит $\sin(A/2)=7/25$, $\cos(A/2)=24/25$. Прямая $AD\parallel BC$ проходит через $A$, расстояние от $O$ до неё: $h_a-r=13$, $h_a=20$. Формула $s-a=AO\cos(A/2)=24$. Из $rs=\dfrac{1}{2}ah_a$: $r(a+24)=\dfrac{1}{2}\cdot 20 a$, $7a+168=10a$, $a=56$. $S_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot 56\cdot 20=560$. $S_{ABCD}=2\cdot 560=1120$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ