Задание №25 ОГЭ: В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а… — задача 18

Рисунок. Равнобедренная трапеция $ABCD$ с вписанной окружностью; диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ между основаниями.

Вписанная окружность: $AD+BC=AB+CD=2AB$, $4AB=100$, $AB=25$. Высота $h=\dfrac{4S}{P}=\dfrac{2000}{100}=20$. $\dfrac{AD-BC}{2}=\sqrt{625-400}=15$, $AD+BC=50$, $AD=40$, $BC=10$. Подобие треугольников, образованных диагоналями: расстояние от точки пересечения до $BC$ равно $h\cdot\dfrac{BC}{AD+BC}=20\cdot\dfrac{10}{50}=4$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ