Задание №25 ОГЭ: В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 36, AC = 54… — задача 22

Рисунок. Треугольник $ABC$ с $AB=36$, $AC=54$ и описанной окружностью с центром $O$. Из вершины $B$ проведён перпендикуляр к прямой $AO$; его продолжение пересекает сторону $AC$ в точке $D$.

Пусть $\angle BAC=A$, $\angle ABC=B$, $\angle BCA=C$. Известно, что $\angle OAB=90^\circ-C$ (угол между радиусом и стороной описанной окружности). Так как $BD\perp AO$, угол между $AB$ и $BD$ равен $C$. В $\triangle ABD$: $\angle BAD=A$, $\angle ABD=C$, значит $\angle ADB=B$. По теореме синусов $\dfrac{AD}{\sin C}=\dfrac{AB}{\sin B}$, откуда $AD=\dfrac{AB\sin C}{\sin B}=\dfrac{AB^2}{AC}=\dfrac{36^2}{54}=24$. $CD=AC-AD=54-24=30$. Что и требовалось доказать.

Источник: Банк ФИПИ