Задание №10 ЕГЭ: Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля…

Пусть скорость первого автомобиля равна \(v\) км/ч, а весь путь равен \(S\) км.

Время первого автомобиля равно \(\frac{S}{v}\).

Второй проехал первую половину пути со скоростью \(36\) км/ч, а вторую половину — со скоростью \(v+24\) км/ч. Его время:
\(\frac{S/2}{36}+\frac{S/2}{v+24}.\)

По условию времена равны:
\(\frac{S}{v}=\frac{S}{72}+\frac{S}{2(v+24)}.\)

Разделим на \(S\):
\(\frac1v=\frac1{72}+\frac1{2(v+24)}.\)

Приведём правую часть к общему знаменателю:
\(\frac1{72}+\frac1{2(v+24)}=\frac{2(v+24)+72}{144(v+24)}=\frac{2v+120}{144(v+24)}=\frac{v+60}{72(v+24)}.\)

Получаем уравнение:
\(\frac1v=\frac{v+60}{72(v+24)}.\)

Перемножим крест-накрест:
\(72(v+24)=v(v+60).\)

Раскроем скобки:
\(72v+1728=v^2+60v.\)

Перенесём всё в одну сторону:
\(v^2-12v-1728=0.\)

Дискриминант:
\(D=(-12)^2-4\cdot1\cdot(-1728)=144+6912=7056=84^2.\)

Тогда
\(v=\frac{12\pm84}{2}.\)

Положительный корень: \(v=48\). Значит скорость первого автомобиля равна \(48\) км/ч.

Ответ: \(48\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор