Задание №10 ЕГЭ: Первая труба наполняет резервуар на 48 минут дольше, чем…

Пусть вторая труба наполняет резервуар за \(x\) минут. Тогда первая труба наполняет его за \(x+48\) минут.

Производительность второй трубы равна \(\frac1x\) резервуара в минуту, первой — \(\frac1{x+48}\). Вместе они наполняют резервуар за \(45\) минут:
\(\frac1x+\frac1{x+48}=\frac1{45}.\)

Приведём дроби к общему знаменателю:
\(\frac{2x+48}{x(x+48)}=\frac1{45}.\)

Перемножим крест-накрест:
\(45(2x+48)=x(x+48).\)

Раскроем скобки:
\(90x+2160=x^2+48x.\)

Получаем квадратное уравнение:
\(x^2-42x-2160=0.\)

Дискриминант:
\(D=(-42)^2-4\cdot1\cdot(-2160)=1764+8640=10404=102^2.\)

Тогда
\(x=\frac{42\pm102}{2}.\)

Положительный корень: \(x=72\). Значит одна вторая труба наполняет резервуар за \(72\) минуты.

Ответ: \(72\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор