Задание №10 ЕГЭ: Расстояние между городами A и B равно 420 км. Из города A в…

Пусть \(AC=x\) км, а скорость автомобиля равна \(v\) км/ч.

Мотоциклист выехал на \(1\) час позже автомобиля и до точки \(C\) ехал \(\frac{x}{80}\) часа. Поэтому автомобиль до встречи ехал
\(1+\frac{x}{80}\)
часа, и
\(x=v\left(1+\frac{x}{80}\right).\)

После встречи мотоциклист возвращается из \(C\) в \(A\), значит после своего выезда он затрачивает всего \(\frac{x}{80}+\frac{x}{80}=\frac{x}{40}\) часа. От выезда автомобиля до этого момента проходит
\(1+\frac{x}{40}\)
часа.

В этот же момент автомобиль прибывает в \(B\), поэтому
\(420=v\left(1+\frac{x}{40}\right).\)

Разделим второе уравнение на первое:
\(\frac{420}{x}=\frac{1+\frac{x}{40}}{1+\frac{x}{80}}.\)

Умножим числитель и знаменатель правой части на \(80\):
\(\frac{420}{x}=\frac{80+2x}{80+x}.\)

Перемножим крест-накрест:
\(420(80+x)=x(80+2x).\)

Раскроем скобки:
\(33600+420x=80x+2x^2.\)

Перенесём всё в одну сторону и разделим на \(2\):
\(x^2-170x-16800=0.\)

Дискриминант:
\(D=(-170)^2-4\cdot1\cdot(-16800)=28900+67200=96100=310^2.\)

Тогда
\(x=\frac{170\pm310}{2}.\)

Положительный корень: \(x=240\). Значит расстояние от \(A\) до \(C\) равно \(240\) км.

Ответ: \(240\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор