Задание №10 ЕГЭ: Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 567… — задача 11

Пусть собственная скорость теплохода равна \(v\) км/ч. Тогда по течению скорость равна \(v+3\) км/ч, а против течения — \(v-3\) км/ч.

На движение без стоянки ушло
\(54-6=48\)
часов.

Составим уравнение по времени движения туда и обратно:
\(\frac{567}{v+3}+\frac{567}{v-3}=48.\)

Приведём дроби к общему знаменателю:
\(\frac{567(v-3)+567(v+3)}{(v+3)(v-3)}=48.\)

В числителе получаем:
\(567(v-3)+567(v+3)=1134v.\)

Тогда
\(\frac{1134v}{v^2-9}=48.\)

Умножим на \(v^2-9\):
\(1134v=48(v^2-9).\)

Перенесём всё в одну сторону и разделим на \(6\):
\(8v^2-189v-72=0.\)

Найдём дискриминант:
\[D=(-189)^2-4\cdot8\cdot(-72)=35721+2304=38025=195^2.\]

Тогда
\[v=\frac{189\pm195}{16}.\]

Получаем корни \(v=24\) и \(v=-0{,}375\). Отрицательная скорость не подходит по смыслу задачи, значит собственная скорость теплохода равна \(24\) км/ч.

Ответ: \(24\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор