Задание №12 ЕГЭ: Найдите наибольшее значение функции y=18cos x+9√3x-3√3π+9…

Найдём производную:
\[y'=-18\sin x+9\sqrt{3}.\]

Критическая точка находится из уравнения \(y'=0\):
\[-18\sin x+9\sqrt{3}=0.\]

Тогда
\[\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\]

На отрезке \([0;\frac{\pi}{2}]\) получаем:
\[x=\frac{\pi}{3}.\]

Проверим значение функции в этой точке:
\[y\left(\frac{\pi}{3}\right)=18\cdot\frac{1}{2}+9\sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{3}-3\sqrt{3}\pi+9.\]

Так как
\[9\sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{3}=3\sqrt{3}\pi,\]
средние два слагаемых сокращаются.

Получаем:
\[y\left(\frac{\pi}{3}\right)=9+9=18.\]

На концах отрезка значение меньше, значит наибольшее значение равно \(18\).

Ответ: \(18\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор