Задание №12 ЕГЭ: Найдите наибольшее значение функции y=30cos x+15√3x-5√3π+11…

Найдём производную:
\[y'=-30\sin x+15\sqrt{3}.\]

Критическая точка находится из уравнения \(y'=0\):
\[-30\sin x+15\sqrt{3}=0.\]

Тогда
\[\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\]

На отрезке \([0;\frac{\pi}{2}]\) это даёт
\[x=\frac{\pi}{3}.\]

Проверим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
\[y(0)=30-5\sqrt{3}\pi+11,\]
\[y\left(\frac{\pi}{3}\right)=30\cdot\frac{1}{2}+15\sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{3}-5\sqrt{3}\pi+11=15+11=26,\]
\[y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0+\frac{15\sqrt{3}\pi}{2}-5\sqrt{3}\pi+11=11+\frac{5\sqrt{3}\pi}{2}.\]

Так как \(11+\frac{5\sqrt{3}\pi}{2}<26\), наибольшее значение равно \(26\).

Ответ: \(26\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор