Задание №12 ЕГЭ: Найдите точку максимума функции y=(4x²-17x+17)e^x-17.

Найдём производную произведения:
\[y'=(4x^2-17x+17)'e^{x-17}+(4x^2-17x+17)(e^{x-17})'.\]

Получаем:
\[y'=(8x-17)e^{x-17}+(4x^2-17x+17)e^{x-17}.\]

Вынесем \(e^{x-17}\) за скобки:
\[y'=(8x-17+4x^2-17x+17)e^{x-17}.\]

Упростим:
\[y'=(4x^2-9x)e^{x-17}=x(4x-9)e^{x-17}.\]

Так как \(e^{x-17}>0\), знак производной определяется произведением \(x(4x-9)\).

При \(x<0\) оба множителя \(x\) и \(4x-9\) отрицательны, значит \(y'>0\).

При \(0<x<\frac{9}{4}\) множитель \(x\) положителен, а \(4x-9\) отрицателен, значит \(y'<0\).

Производная меняет знак с плюса на минус при \(x=0\), поэтому \(x=0\) — точка максимума.

Ответ: \(0\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор