Задание №12 ЕГЭ: Найдите наибольшее значение функции y=5ln(x+9)-5x на… — задача 23

Рассматриваем функцию
\[y=5\ln(x+9)-5x\]
на отрезке \([-8{,}5;0]\).

На этом отрезке \(x+9>0\), поэтому функция определена.

Найдём производную:
\[y'=\frac{5}{x+9}-5.\]

Критическая точка находится из уравнения \(y'=0\):
\[\frac{5}{x+9}-5=0.\]

Тогда
\[\frac{5}{x+9}=5,\]
откуда
\[x+9=1.\]

Значит,
\[x=-8.\]

Точка \(x=-8\) лежит внутри отрезка.

Проверим значение функции в критической точке и на концах отрезка:
\[y(-8)=5\ln1-5\cdot(-8)=40,\]
\[y(-8{,}5)=5\ln0{,}5-5\cdot(-8{,}5)<40,\]
\[y(0)=5\ln9<40.\]

Наибольшее значение равно \(40\).

Ответ: \(40\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор