Задание №12 ЕГЭ: Найдите наименьшее значение функции y=x√x-9x+25 на отрезке…

Запишем \(x\sqrt{x}\) как степень:
\[x\sqrt{x}=x^{3/2}.\]

Тогда
\[y=x^{3/2}-9x+25.\]

Найдём производную:
\[y'=\frac{3}{2}\sqrt{x}-9.\]

Критическая точка находится из уравнения \(y'=0\):
\[\frac{3}{2}\sqrt{x}-9=0.\]

Тогда
\[\frac{3}{2}\sqrt{x}=9,\]
откуда
\[\sqrt{x}=6.\]

Значит,
\[x=36.\]

Точка \(x=36\) лежит на отрезке \([1;50]\).

Проверим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
\[y(1)=1-9+25=17,\]
\[y(36)=36\cdot6-9\cdot36+25=216-324+25=-83,\]
\[y(50)=50\sqrt{50}-9\cdot50+25>-83.\]

Наименьшее значение равно \(-83\).

Ответ: \(-83\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор