Задание №12 ЕГЭ: Найдите наименьшее значение функции y=-9ln(x+5)+9x на… — задача 24

Рассматриваем функцию
\[y=-9\ln(x+5)+9x\]
на отрезке \([-4{,}5;0]\).

На этом отрезке \(x+5>0\), поэтому функция определена.

Найдём производную:
\[y'=-\frac{9}{x+5}+9.\]

Критическая точка находится из уравнения \(y'=0\):
\[-\frac{9}{x+5}+9=0.\]

Тогда
\[\frac{9}{x+5}=9,\]
откуда
\[x+5=1.\]

Значит,
\[x=-4.\]

Точка \(x=-4\) лежит внутри отрезка.

Проверим значение функции в критической точке и на концах отрезка:
\[y(-4)=-9\ln1+9\cdot(-4)=-36,\]
\[y(-4{,}5)=-9\ln0{,}5+9\cdot(-4{,}5)>-36,\]
\[y(0)=-9\ln5>-36.\]

Наименьшее значение равно \(-36\).

Ответ: \(-36\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор