Задание №12 ЕГЭ: Найдите наибольшее значение функции y=log₅(24-2x-x²)+2. — задача 48

Логарифмическая функция с основанием \(5>1\) возрастает, поэтому нужно найти наибольшее значение выражения под логарифмом:
\[24-2x-x^2.\]

Это квадратичная функция, ветви которой направлены вниз.

Найдём абсциссу вершины:
\[x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1.\]

Подставим \(x=-1\) в выражение под логарифмом:
\[24-2\cdot(-1)-(-1)^2=24+2-1=25.\]

Тогда наибольшее значение исходной функции:
\[y_{\max}=\log_{5}25+2.\]

Так как \(25=5^2\), получаем:
\[\log_{5}25=2.\]

Значит,
\[y_{\max}=2+2=4.\]

Ответ: \(4\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор