Задание №12 ЕГЭ: Найдите наименьшее значение функции y=x+64/x-24 на отрезке…

Отрезок \([7{,}5;18]\) лежит в области определения функции, так как \(x\ne0\).

Найдём производную:
\[y'=1-\frac{64}{x^2}.\]

Критические точки находятся из уравнения \(y'=0\):
\[1-\frac{64}{x^2}=0.\]

Тогда
\[x^2=64,\]
поэтому
\[x=\pm8.\]

На отрезке \([7{,}5;18]\) лежит только точка \(x=8\).

Сравним значения функции в критической точке и на концах отрезка:
\[y(7{,}5)=7{,}5+\frac{64}{7{,}5}-24,\]
\[y(8)=8+\frac{64}{8}-24=8+8-24=-8,\]
\[y(18)=18+\frac{64}{18}-24.\]

На положительных \(x\) выражение \(x+\frac{64}{x}\) имеет минимум при \(x=8\), поэтому наименьшее значение функции на данном отрезке равно \(-8\).

Ответ: \(-8\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор