Задание №12 ЕГЭ: Найдите точку максимума функции y=-x²+36/x.

Запишем функцию в удобном виде:
\[y=-\frac{x^2+36}{x}=-x-\frac{36}{x}.\]

Найдём производную:
\[y'=-1+\frac{36}{x^2}.\]

Критические точки получаем из уравнения \(y'=0\):
\[-1+\frac{36}{x^2}=0.\]

Тогда
\[x^2=36,\]
поэтому
\[x=\pm6.\]

Определим знак производной около \(x=6\).

Если \(0<x<6\), то \(\frac{36}{x^2}>1\), значит \(y'>0\).

Если \(x>6\), то \(\frac{36}{x^2}<1\), значит \(y'<0\).

В точке \(x=6\) производная меняет знак с плюса на минус, поэтому функция переходит от возрастания к убыванию.

Значит, точка максимума равна \(6\).

Ответ: \(6\).

Источник: Заппи - ИИ репетитор